Мясяля1

$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{{\rm d}q}{|\vec{r}_p-\vec{r} '|}$

$\vec{r}_p$

$\vec{r} '$

$r\cos\varphi\vec{i}+r\sin\varphi\vec{j}$

Електростатика цзря мясяляляр

Гябул едякки, О координат башланьыжы, А йцкцн йерляшдийи нюгтя, П ися сащянин ахтарылдыьы нюгтядир. $\vec{OP}$ вектору ясасян $\vec{r}_p$ иля ишаря олунур, $\vec{OA}$ вектору ися $\vec{r} '$ ишаря едяк. Онда електрик сащясинин интенсивлийи вя потенсиалыны ашаьыдакы кими йазмаг олар:

$\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot\frac{(\vec{r}_p-\vec{r} ')}{|\vec{r}_p-\vec{r} '|^3} \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q} {|\vec{r}_p-\vec{r} '|}$

(1)

Мясяля 1. $\vec{r} '=9\vec{i}-3\vec{j}$ нюгтясиндя йерляшян г йцкцнцн $\vec{r}_p = 3\vec{i}+5\vec{j}$ нюгтясиндя йаратдыьы сащяни тапын

Жаваб: $\vec{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{-6\vec{i} +8\vec{j}}{1000}$

Сащяни йарадан сяпялянмиш йцкляр олдугда интеграллама апармаг лазымдыр:

$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{(\vec{r}_p-\vec{r} ') {\rm d}q}{|\vec{r}_p-\vec{r} '|^3} \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{{\rm d}q}{|\vec{r}_p-\vec{r} '|}$

(2)

Бу заман $\vec{r} '$ координат башлагьыжындан бцтцн мцмкцн нюгтяляря йцнялир, щарадакы dq . йцкц йерляшир.

Q йцкцнцн щяжми (V), сятщи (S) вя йа узунлуьа (L) эюря сыхлыьы уйьун олараг,

$\rho = \frac{Q}{V}, \sigma = \frac{Q}{S}, \lambda = \frac{Q}{L}$

(3)

кими тяйин олунажагдыр. dV, dS и dl? Елементляри щяндяси олараг ашаьыдакы кими тяйин олунар.

Мясяля 2 Йарым диск формада олан лювщянин мяркязиндя потенсиалы тапын. Дахили вя зарижи R₁ вя R₂, електрик йцкц σ = σ₀sinφ, щарадакы φ- xy мцстявисиндя бужагдыр.

Щялли : Потенсиалы стандарт формада йазаг

уйьун олараг

$\vec{r}_p-\vec{r} '$	=	$-r\cos\varphi\vec{i}- r\sin\varphi\vec{j}$
$\|\vec{r}_p-\vec{r} '\|$	=	r

Сащяни йарадан жисмин формасыны нязяря алсаг,

dq = σ(r,φ)· dS = σ₀sinφ· rdr dφ

Бурада φ -нин дяйишмя областы 0 дан π, -кими, r - ися R₁ дян R₂.кимидир. Интеграллама апарсаг φ:

$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{\sigma_0\sin \varphi\cdot r{\rm d}r{\rm d}\varphi}{r} = \frac{\sigma_0} {4\pi\varepsilon_0}(R_2-R_1)\cdot 2 = \frac{\sigma_0(R_2-R_1)} {2\pi\varepsilon_0}$

Мясяля 3. φ = 0... 2π, θ = 0... π/4 областыны тутан, ρ₀ йцкц иля бярабяр йцклянмиш, дахили вя харижи радиуслары R₁ вя R₂ олан кцряви секторун сащясини тапын.

Щялли: Йцклянмиш обйект щяжми олдуьу цчцн

dq = ρ dV = ρ₀· r²drsinθdθdφ

Координат башланьыжыны ахтардыьымыз нюгтя эютцрсяк

$\vec{r}_p = \vec{0}$

Онда $\vec{r} '$ ашаьыдакы кими йазыла биляр:

$\vec{r'} = r\sin\theta\cos\varphi\vec{i} +r\sin\theta\sin\varphi\vec{j} +r\cos\theta\vec{k}$

Бу заман

$\left{\begin{array}{ll} \vec{r}_p-\vec{r} ' &= -r\sin\theta\cos\varphi\vec{i} - r\sin\theta\sin\varphi\vec{j} - r\cos\theta\vec{k}\\ |\vec{r}_p-\vec{r} '| &= r \end{array} \right.$

Интеграллама апармаг цчцн бцтцн компонентляр вардыр. Интегралламанын сярщядляри мясялянин шяртляриндян чыхыр.

$\vec{E}$	=	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{(\vec{r}_p-\vec{r} ') {\rm d}q}{\|\vec{r}_p-\vec{r} '\|^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot$
		$\cdot\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi/4} \int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{-r\sin\theta\cos\varphi\vec{i}- r\sin\theta\sin\varphi\vec{j}-r\cos\theta\vec{k}}{r^3}\cdot \rho_0\cdot r^2 \mbox{d}r \sin\theta\mbox{d}\theta\mbox{d}\varphi$

Айдындыр ки, cosφ вя sin φ олан щядлярин интегралланмасы сыфыр веряжякдир.

$\vec{E}$	=	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi/4}\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{-r\cos\theta\vec{k}}{r^3}\cdot \rho_0\cdot r^2{\rm d}r\sin \theta{\rm d}\theta{\rm d}\varphi=$
	=	$-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot (R_2-R_1)\cdot 2\pi \cdot\rho_0\cdot \int\limits_{0}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta{\rm d} \theta\cdot\vec{k} =$
	=	$-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot (R_2-R_1)\cdot 2\pi \cdot\rho_0\cdot \left.\frac{\sin^2\theta}{2}\right\|_0^{\pi/4}\cdot\vec{k} = -\frac{\rho_0(R_2-R_1)}{8\varepsilon_0}\vec{k}$

Е интенсивлийинин истигамяти мясялянин шяртиндян айдындырки, з охунун яксиня олажагдыр

Мясяля 4. Р радиуслу метал кцря бярабяр ρ₀ щяжми йцкя маликдир. Кцрянин мяхсуси енеръисини тапмалы.

Щялли. Кцрянин потенсиалыны тапмаг цчцн Гаусс теореминдян истифадя едяк

$E_r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2} q_{inside}(r)$	=	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{4\pi\rho_0r^3}{3} = \frac{\rho_0r}{3\varepsilon_0}, r<R$
	=	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{4\pi\rho_0R^3}{3} = \frac{\rho_0R^3}{3\varepsilon_0r^2}, r>R$

φ(r) Потенсиалы тапмаг цчцн r<R: интеграллайаг,

φ(r)	=	$\int\limits_r^{+\infty} E_r(\tilde{r}) {\rm d}\tilde{r} = \int\limits_r^R \frac{\rho_0\tilde{r}}{3\varepsilon_0} {\rm d}\tilde{r} + \int\limits_R^{\infty} \frac{\rho_0R^3} {3\varepsilon_0\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} =$
		$\frac{\rho_0(R^2-r^2)}{6\varepsilon_0} + \frac{\rho_0R^2}{3\varepsilon_0} = -\frac{\rho_0r^2}{6\varepsilon_0}+\frac{\rho_0R^2}{2\varepsilon_0}$

Електрик йцкцнц ашаьыдакы кими йазаг

dq = ρ₀ r²dr sinθdθ dφ

Вя потенсиал енеръини

W	=	$\sum\limits_iW_{own,i}+\sum\limits_{i} W_{int,i,all} = \sum\limits_iW_{own,i}+\sum\limits_{i,j} W_{int,i,j} =$
	=	$\frac{1}{2}\sum\limits_i\int \varphi_i {\rm d}q_i + \frac{1}{2}\sum\limits_i\int \varphi_{all,except i} {\rm d}q_i =\frac{1}{2}\sum\limits_i\int \varphi_i {\rm d}q_i + \frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}\int \varphi_{j} {\rm d}q_i$

кими щесаблайа билярик.

Кцря цчцн аларыг.

W_own	=	$\frac{1}{2}\int\limits_0^R\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{\pi} \varphi(r) \rho_0 r^2{\rm d}r \sin\theta{\rm d}\theta {\rm d}\varphi = 4\pi \frac{1}{2}\int\limits_0^R \varphi(r) \rho_0 r^2{\rm d}r =$
		$2\pi\cdot\left(-\int\limits_0^R \frac{\rho_0r^2}{6\varepsilon_0} \rho_0 r^2{\rm d}r + \int\limits_0^R\frac{\rho_0R^2}{2\varepsilon_0} \rho_0 r^2{\rm d}r \right) =$
		$-\frac{2\pi\rho_0^2R^5}{30\varepsilon_0} + \frac{2\pi\rho_0^2R^5} {6\varepsilon_0} = \frac{4\pi\rho_0^2R^5}{15\varepsilon_0}$

Мясяля 5. Радиусу Р олан щалга вя онун мяркязиндян кечян узун тел (мяфтил) бярабяр λ₀ йцк сыхлыьына маликдир. Онларын гаршылыглы тясир гцввясини тапмалы.

Щялли. ГШаршылыглы тясир гцввяси йа щалга цзря йцкцн интегралланмасы, йа да мяфтил цзря йцкцн интегралланмасы кими тапыла биляр.

$\vec{F} = \int \vec{E}_{ring}{\rm d}q_{wire} = \int \vec{E}_{wire}{\rm d}q_{ring}$

Координат системини еля сечяк ки, щалга xy мцстявисиня дцшсцн. Мяфтил ися з оху цзря олсун. z>0. Онда

dq_wire = λ₀dz, dq_ring = λ₀Rdφ

(0,0,z) нюгтясиндя Кулон ганунуну нязяря алараг, интегралласаг

$\vec{E}_{ring} = \frac{\lambda_0}{2\varepsilon_0}\cdot \frac{z\vec{k}}{(R^2+z^2)^{3/2}}$

(Rcosφ,Rsinφ,0), нюгтясиндя йарадылмыш сащя

$\vec{E}_{wire} = \frac{\lambda_0}{4\pi\varepsilon_0R} \left([\cos\varphi \vec{i}+\sin\varphi \vec{j}]-\vec{k}\right)$

Сонра гцввянин тапмаг мягсяди иля интегралласаг

$\vec{F}_{ring to wire}\hspace{-0.4cm}$	=	$\int \vec{E}_{ring}{\rm d}q_{wire} = \int\limits_0^{+\infty} \frac{\lambda_0} {2\varepsilon_0}\cdot\frac{z\vec{k}}{(R^2+z^2)^{3/2}} \lambda_0 {\rm d}z = \frac{\lambda_0^2\vec{k}}{2\varepsilon_0}$
$\vec{F}_{wire to ring} \hspace{-0.4cm}$	=	$\int \vec{E}_{wire} {\rm d}q_{ring} = \int\limits_0^{2\pi} \frac{\lambda_0}{4\pi \varepsilon_0R}\left([\cos\varphi \vec{i}+\sin\varphi \vec{j}]- \vec{k}\right) \lambda_0 R {\rm d}\varphi = -\frac{\lambda_0^2\vec{k}}{2\varepsilon_0}$

Щалганын мяфтиля тясир гцввяси $\vec{F}_{ring to wire}$ , мяфтилин щалгайа тясир гцввяси ися $\vec{F}_{wire to ring}$ Нйутонун ЫЫЫ гануна ясасян ейнидир.

Мясяля 6. г йцкц (0, 0, l). нюгтясиндя йерляшмишдир. Мяркязи йцкдян кечян дцз хятт цзяриндя йерляшмиш Р радиуслу щалгадан кечян $\vec{E}$ векторунун селини тапын.

Щялли. ХЙ мцстявисиндя йцк

$\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{x\vec{i}+y\vec{j}-l\vec{k}}{(x^2+y^2+l^2)^{3/2}}$

Интенсивлийини йарадажагдыр. Сели щесабламаг цчцн биз $\vec{E}\cdot\vec{n}$ щасилини тапмалыйыг. Бурада $\vec{n}$ мцстявинин нормалыдыр.

$\vec{E}\cdot\vec{n}= -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot\frac{l}{(x^2+y^2+l^2)^{3/2}} = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot\frac{l}{(r^2+l^2)^{3/2}}$

Φ	=	$\int\vec{E}\cdot{\rm d}\vec{S} = \int\vec{E}\cdot\vec{n}{\rm d}S = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^R\vec{E}\cdot\vec{n}\cdot r{\rm d}r{\rm d} \varphi =$
	=	$-\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^R \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{l}{(r^2+l^2)^{3/2}}\cdot r{\rm d}r{\rm d}\varphi = -\frac{ql\cdot 2\pi}{4\pi\varepsilon_0} \int\limits_0^R\frac{r{\rm d}r}{(r^2+l^2)^{3/2}} =$
	=	$-\frac{ql\cdot 2\pi}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\left[-\frac{1} {(r^2+l^2)^{1/2}}\right]_0^R = -\frac{ql}{2\varepsilon_0} \cdot\left[\frac{1}{l}-\frac{1}{\sqrt{R^2+l^2}}\right]$

Мясяля 7. Ики консентрик силиндир верилмишдир. E_r(r) вя φ(r) ни тапын.

Щялли.

Гаусс теореминя эюря

q_inside = 4π r² D_r(r) =

= 4π ε₀ r² E_r

Щарадакы

q_inside	=	0 яэяр r<R₁
		4πσ₁R₁² яэяр R₁<r<R₂
		4πσ₁R₁²+4πσ₂R₂² яэяр r>R₂

Вя щяр бир сащядя интенсивлик

E_r	=	0 яэяр r<R₁
		$\frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0r^2} {\rm при} R_1<r<R_2$
		$\frac{\sigma_1R_1^2+\sigma_2R_2^2}{\varepsilon_0r^2} {\rm при} r>R_2$

Потенсиалы тапмаг цчцн ашаьыдакы интегралы щесабламалыйыг.

$\int\limits_r^{+\infty} E_r(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}$

Нятижядя аларыг

φ(r)	=	$\int\limits_r^{R_1}0 {\rm d}\tilde{r} +\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0\tilde{r}^2} {\rm d}\tilde{r} + \int\limits_{R_2}^{+\infty} \frac{\sigma_1R_1^2+ \sigma_2R_2^2}{\varepsilon_0\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} =$
	=	$0+\frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1}- \frac{1}{R_2}\right) + \frac{\sigma_1R_1^2+ \sigma_2R_2^2} {\varepsilon_0}\frac{1}{R_2} {\rm при} r<R_1$
φ(r)	=	$\int\limits_{r}^{R_2} \frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0 \tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} + \int\limits_{R_2}^{+\infty} \frac{\sigma_1 R_1^2+\sigma_2R_2^2}{\varepsilon_0\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} =$
	=	$\frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r}- \frac{1}{R_2}\right) + \frac{\sigma_1R_1^2+ \sigma_2R_2^2} {\varepsilon_0}\frac{1}{R_2} {\rm при} R_1<r<R_2$
φ(r)	=	$\int\limits_{r}^{+\infty} \frac{\sigma_1 R_1^2+\sigma_2R_2^2}{\varepsilon_0\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} =$
	=	$\frac{\sigma_1R_1^2+ \sigma_2R_2^2} {\varepsilon_0}\frac{1}{r} {\rm при} r>R_2$

Мясяля 8. Р радиуслу кцря ρ(r) = ρ₀(1–r/R). кими йцклянмишдир.

Кцрянин йцкцнц, E_r(r) интенсивлийини вя r = 0... +∞. олдугда φ(r) потенсиалыны тапмалы.

Щялли: Кцрянин йцкц

Q	=	$\int\rho {\rm d}V = \int\limits_0^R\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{\pi}\rho_0\left(1-\frac{r}{R}\right)\cdot \sin\theta{\rm d}\theta {\rm d}\varphi r^2{\rm d}r$
	=	$4\pi\int\limits_0^R\rho_0\left(1-\frac{r}{R}\right)r^2{\rm d}r = \frac{\pi\rho_0R^3}{3}$

кими тяйин олунур. Щесаблама заманы дВ щяжм елементинин сферик координат системиндя ифадясиндян истифадя олунмушдур. Бу заман Пуассон тянлийи беля йазыла биляр:

$\frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}r} \left(r^2 \frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}r}\right)$

$-\frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left(1-\frac{r}{R}\right), r<R\&=$

0…р интервалында бир дяфя интеграллама апарсаг

$\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}r}$	=	$-\frac{\rho_0} {\varepsilon_0}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^2}{4R}\right), r<R$
	=	$-\frac{\rho_0R^3}{12\varepsilon_0r^2}, r>R$

$\vec{E}=E_r\vec{e}_r=-\nabla\varphi(r)$ .

Нязяря алсаг потенсиалын тапылмасы цчцн тякрар интегралламаг лазымдыр.

r>R	:	$\varphi(r) = \int\limits_{+\infty}^r \left(-\frac{\rho_0R^3}{12\varepsilon_0\tilde{r}^2}\right) {\rm d} \tilde{r} = \left.\frac{\rho_0R^3}{12\varepsilon_0\tilde{r}}\right\|_{\infty}^r = \frac{\rho_0R^3}{12\varepsilon_0r}$
r<R	:	$\varphi(r) = \int\limits_{+\infty}^R \left(-\frac{\rho_0R^3} {12\varepsilon_0\tilde{r}^2}\right) {\rm d}\tilde{r}+\int\limits_R^r -\frac{\rho_0} {\varepsilon_0}\left(\frac{\tilde{r}}{3}-\frac{\tilde{r}^2}{4R}\right) {\rm d}\tilde{r} =$
	=	$\frac{\rho_0R^3}{12\varepsilon_0R} - \frac{\rho_0}{\varepsilon_0}\left.\left(\frac{\tilde{r}^2}{6}- \frac{\tilde{r}^3}{12R}\right)\right\|_R^r = \frac{\rho_0R^2}{6\varepsilon_0}- \frac{\rho_0r^2}{6\varepsilon_0}\left(1-\frac{r}{2R}\right)$

Мясяля 9. 2а ениндя олан лювщя бярабяр щяжми йцклянмишдир.

ρ(x) = α x² х=0 олдугда ( лювщянин мяркязиндя) φ = 0 олдуьуну биляряк φ(x) тапын.

Щялли: Декарт координат систе5миндя мясяляни щялл едяк. Яэяр ρ>0 (α >0) оларса, симметрийаны нязяря алсаг: ( x>0 вя x<0 ) Пуассон тянлийиня ясасян

$\frac{{\rm d}^2\varphi}{{\rm d} x^2}$	=	$- \frac{\alpha x^2}{\varepsilon_0}, -a<x<a$
$\frac{{\rm d}^2\varphi}{{\rm d} x^2}$	=	0 x>a вя йа x<–a

Илк гейри мцяййян интегралламадан сонра

$\frac{{\rm d} \varphi}{{\rm d} x}$	=	$- \frac{\alpha x^3}{3\varepsilon_0} + A_c, -a<x<a$
$\frac{{\rm d} \varphi}{{\rm d} x}$	=	A_L, x<–a
$\frac{{\rm d} \varphi}{{\rm d} x}$	=	A_R, x>a

Интегралламада ики сабит иштирак едяжякдир:

φ(x)	=	$- \frac{\alpha x^4}{12\varepsilon_0} + A_cx+B_c, -a<x<a$
φ(x)	=	A_Lx+B_L, x<–a
φ(x)	=	A_Rx+B_R, x>a

Алты намялум сабити тапмаг цчцн ики шярт: х=-а вя х=а, вя φ(0) = 0

Мясялянин шярти вардыр. Мясялянин шяртиндян E_x|_x_= 0 = –dφ/ dx|_x_= 0 = 0

Сонунжу мясялянин симметриклийиндян алыныр.Бурадан А_ж=0 вя Б_ж=0 алыныр. Симметрийадан щямчинин алынырки, φ(x) = φ(–x) вя E_x(x) = –E_x(–x)

Бураданда А_Р=-А_Л, Б_Р=Б_Л. Х=а цчцн

$- \frac{\alpha x^4}{12\varepsilon_0}\|_{x=a}$	=	(A_Rx+B_R)\|_x_= a
$-\frac{\alpha x^3}{3\varepsilon_0}\|_{x=a}$	=	A_R\|_x_= a

Бурадан A_R (A_R = –α a³/3ε₀), вя щямчинин B_R (B_R = α a⁴/4ε₀), тапырыг. Потенсиал цчцн йаза билярик

φ(x)	=	$- \frac{\alpha x^4}{12\varepsilon_0}, -a<x<a$
φ(x)	=	$-\frac{\alpha a^3}{3\varepsilon_0}x+\frac{\alpha a^4} {4\varepsilon_0}, x<-a$
φ(x)	=	$\frac{\alpha a^3} {3\varepsilon_0}x+ \frac{\alpha a^4}{4\varepsilon_0}, x>a$

$- \frac{\alpha x^4}{12\varepsilon_0}\|_{x=a}$	=	(A_Rx+B_R)\|_x_= a
$-\frac{\alpha x^3}{3\varepsilon_0}\|_{x=a}$	=	A_R\|_x_= a